★カリー玉葱に、サンタさんを願うジレンマ? ――(反射的)再帰的世界ですか。
――id:mind:20050916から、自己充足信念(言霊)つながり。
――内容、重い……
――『鏡の国のアリス』みたいな? ぐるぐる@@
――Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ型が解説されてから読んで ；
――『クレタ人の嘘つき』id:mind:20051025と比較してみると面白い。
◆ 『Curry's Paradox(論理版)』 =====================================
(教授Qの下賜されたもので、)
ここに、命題のリストがある。
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a あのBoxの中のネコは生存している。
b もしアナタが、「あのBoxの中のネコは生存している」と確証できた
ならば、 あのBoxの中のネコは生存している。
c もし このリストのcの行の命題 が正しい
ならば、 このリストの凡ての行の命題が正しい。
d もしアナタが、このリストのdの行の命題 が正しいと確証できた
ならば、 あのBoxの中のネコは生存している。
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このリストの各命題は、それぞれ正しいか?
とりあえず、cの命題は正しいか?
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―― このリストのcのところだけ以下に抜き出して、
縮小、変換し、 ことさらにparadoxicalに語ってみるw。
======『玉葱に釣られるサンタさん』==========================
C「こんどは、応用問題。いい?」
―― 「白箱の中の青玉の存在」だけでなく任意の命題xについて、c≡c⊃xとなるような、"カリーの玉葱命題(仮)"c が用意されるとなると、凡ての命題xが証明されてしまい、paradoxとなる(聞き手は不整合、たくさん不正確になる)。
――そこまで行かなくとも、ある偽の命題に対して玉葱命題を用意するとペテン。
*1
*2
………
C「もし私の今言ったことが正しいならば、サンタクロースは存在する」「きみはどう思う?」
*3
B「もし先生が正しい場合に限りますけど、サンタクロースは存在しますわw」
*4
C「それって私の今言ったことと「文字通り同じこと」だから、
私の今言ったこと は正しいってことだね?」
*5
B「ぇぇ…、はい。」
*6
C「なるほど…、Bくんによれば、私は正しいことcを言ったらしい。すなわち、
「c: もし私の言ったことcが正しかったなら、サンタクロースは存在する。」
しかも、Bくんによれば、
私の言ったことcは正しいらしい。 *7
したがって、サンタクロースは存在する
と無条件に認めるのね、私と違って、きみは。ふーんw?」
B「(…そっか、サンタさんってホントはどこかにいるのですねー@@??)」
C「(どーしよーかなー? 責任とって「サンタ」も「箱詰め」しとかなきゃw)」
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(記号化) s: サンタが存在する c:「もし「私の言葉c」が正しい ならば sも正しい。」 c: c ⊃ s ――記号世界の事象と が真である のは、 (実際に) 文cが正しい ならば サンタが存在するs ――怪しい玉葱 ――現実世界の事象と ならばそのときに限る。 ――◎真理定義T ――の1対1対応を受容れるってこと。 つまり、c⇔ cならばs ――このケースでは、観察論理学的には、かなり無理をしてる。ペテンを意図しないなら、 c: Cs &s ⊃s とでも観察・記号化すべき。これが観察論理学からの、解答です。 しかし、上のままで現実的なケースも十分あり得る。 ――id:mind:20051008「(白箱の中に) 灰玉が在る ならばそのときに限り、灰玉が在る ならば、青玉もある。」 tt) (c≡c⊃s )≡ c&s ――curry恒真式(仮)なところ、 もしsが間違いとすれば、→c&sが間違い。 → c !≡ c⊃sが正しくて、c≡c⊃s は単に間違い。 つまり、c≡c⊃s を語った先生は、sが現に間違いとすればペテン師。 I B├ ・ c≡c⊃s ――タルスキの真理定義Tより。 ―― まあ、「先生」を信じてくれるなら、そのまま(接続的観察的に)信じてもらってて問題ないわけだが。 ――あとは、「先生」が嘘つきにならないために「サンタの箱詰め?」を用意すればよい。 tt) (c≡c⊃s)≡c&s ――curry恒真式(仮) →c&s ――curry玉葱がサンタを釣れてきた! ┤以上により、B├ c かつ、B├ s そして、ホントに c⇔ cならばs 「この文が正しい ならば、サンタは存在する」 が成立ってれば、玉葱でサンタが釣れる。 ――先生が正しかったのかは知らないけどw ちなみに、玉葱というのは、剥いても剥いても無くならない不動点の象徴物です。*8 ｛program cを呼ぶと、底なしにcが呼び出され続けて、stack over flowになるまで停まらない はずなのに、 ／実際にはcurry恒真式で、底がある ＜ のはなぜでしょう?
冒頭のカリーのparadoxに戻ると、
(記号化)
s: このリストの凡ての行の命題が正しい。
c: cが正しい ならば sも正しい。
すると、
c: c ⊃ s ――記号世界の事象と
が真である のは、
(実際に) 文cが正しい ならば このリストの凡ての行の命題が正しいs
――現実世界の事象と
ならばそのときに限る。 ――◎真理定義T ――の1対1対応を受容れるってこと。
つまり、c⇔ cならばs
- もし、このリスト(cの行を含む)を信じて ――リストを下すった教授Qを信じるのと同じこと。
c≡c⊃s
を、我々が、接続的観察的(DATA入力的というか、権威主義的?)にそのまま受容れるなら、
それと論理的に同値な
c & s
をも受容れるということ。
――ただし、リストには現に正しくない命題も書かれているかも。
さらに、リストが無限に長くて、凡ての命題が書いてあるとすると、我々は不整合になる。
- もし、このリストを信じないなら、
それぞれの行につき、証拠を探し基本的観察的(科学的というか懐疑的?)に判断すればいいだけ。
――クレタ人Qと付き合うときと同じ。
とすると、上の観察と同じで、3番目の行の意味は、
c⇔ cならばs
という意味。これは、先生Qを信じない以上、とりあえず、真偽不明だが、
c かつ s
と全く同じ意味。
もちろん、cかつsが正しいかは、証明が必要。
しかるに、
cについては、cの行にも、c以外の行にも、関連した証拠はないから、単に、cは真偽不明。
よって、cをその一部として含むsについても真偽不明。
a, b, dについては、以下を読んでから考えてみましょうw
――上と比較してみると面白い。
◆反射的なB と、自信過剰命題 ――レーブの定理(様相論理版)
(記号化) s: サンタが存在する ――「あのBoxの中のネコは生存している。」でもいいです、別に。 c: もし、Bがcを確証する ならば、sも正しい。 c≡ Bc⊃s c:「もし私Bが「この文cが正しい」と確証できれば、サンタはいる。」 ―― 記号⇔現実(定義する記号を含んではならない)という、「定義」の定義からみると、☆循環定義、底なし再帰的定義 しかし、c⇔ Bc⊃sが現実として成立っている(物理的現実世界が「循環」fractalしている場合) と観察できる場合には、実用上は正しい定義。 ――Recursive Universe『ライフゲイムの世界』だね! Bs⊃s Bはsに関して正確。これがBによって確証(B├ Bs⊃s)されると、Bは、sに関して自信過剰。 ――(以前は単に確信(B├s)できていたのですが…。) 「…もし私Bが…、「サンタはいる」と信じられた ならば、サンタはいるはずなのに……」 ――(;サンタについてちょっと不安になってきた茉莉ちゃんw) (レーブの定理の証明) ――これを日本語で証明してみるとグルグルで面白い。 (Ⅳ R) B├ R) c≡ Bc⊃s ――Bはsについて反射的になってしまった! ……… -> Bc≡B(Bc⊃s) ……… →Bc⊃(BBc⊃Bs) Ⅳ) Bc ⊃BBc →Bc ⊃Bs ・ Bs⊃s ――sについての自信過剰命題。Curry's Paradoxと比べて、追加の信念が必要となっている。 →Bc ⊃s → c ->Bc →s ――やっぱりサンタさんはいるに決まってるよね、よかった〜 ； ┤以上の観察により、現実の世界で、 B├ c≡Bc⊃s (Bはsについて反射的)という前提の下に、 B├ Bs⊃s ならば、 B├ s 。 =|
(定義)
(Bはxについて) レーブ的 とは、 ――(謙虚というか、反自信過剰的)
B├ Bx⊃x ――xについて自信過剰的
ならば
B├ x
という関係が、computerBと事実xとの間に成立つこと。
＜(レーブの定理)
Ⅳ型のcomputerは、 xについて反射的ならば、xについてレーブ的になる。
ところで、上の観察(下の※)で、 現に、 Bはサンタを信じている(B├sが真)。 すると、 ・ Bs⊃sが、 ;Bがサンタを信じる ならば サンタはいる Bで証明可能(B├Bs⊃s)なばかりでなく、 現に正しい(B├s ならばsが真)場合、 ――「サンタは実在する」が、茉莉ちゃんBの言霊(自己充足信念)である (と我々から観察できる)場合。 ;「茉莉ちゃんBがサンタを信じてる」のが伸恵お姉ちゃんCに観える ならば、Cがサンタになってくれる(と我々…)場合 ・ sも、 ;サンタはいる Bで証明可能(※)(B├s)なばかりでなく、 現に正しくなる(無条件にsが真)。 ――茉莉ちゃんBにサンタはやってくるw!! ――またデジャヴだ……@@。Bも我々も、やっていることは同じ。形式的か日本語かの違いだけ。
この場合、推論者Bの記号状態がレーブ的であるばかりでなく、Bを含む近傍の現実世界までもがsについてレーブ的である。
*9
＜「Bの近傍世界がsについてレーブ的」とは、(レーブ的⇔反射的 だから、「反射的(再帰的?)な世界」と言っても良い)
B├s ならばs、 が真 ―― ?⇔ 我々├ Bs⊃s
( …>B├ Bs⊃s、 が真 を経由して、
(レーブの定理により)
( B├ s、 が真、 を経由して、左外上に戻って、)
であるならば s、 が真。
という関係、つまり、
B├s ならばs、 ……であるならば 実際にs 。
と言う関係が成立っていること。
さらに、
sならば、 B├sならばs
は常に正しいので、併せれば、 ―― s⊃(Bs⊃s)は恒真式ということ
sである ならばそのときに限り B├sならばs ―― s≡ Bs⊃s
と言う関係が成立っていること。
◆L型ならばG型
x 任意の命題 (L) B├ 〔* B( B(Bx⊃x)⊃ Bx ) ――簡略のため、仮定設定と自然推論(自然演繹)を許容する Ⅱ) →BB(Bx⊃x)⊃BBx 〔* B(Bx⊃x) Ⅱ) →BBx⊃Bx Ⅳ) →BB(Bx⊃x) ――仮定の世界では、「->」は使えない。L型はⅣ型と定義したので大丈夫。 →BBx →Bx ――2つの仮定の下で、Bxを導出できた。 〕〕→B( B(Bx⊃x)⊃Bx ) ⊃( B(Bx⊃x)⊃Bx) ――B(Bx⊃x)⊃Bxについて自信過剰になってしまった。仮定なしに。 -L> B(Bx⊃x)⊃Bx ┤ 以上の観察により、 BがL型である ならば、Bは、B(Bx⊃x)⊃Bxという命題を確証する。ただし、xは任意の命題。 つまり、 Bは、L型ならばG型 。=|◆G型ならばL型になる ことは、証明ずみ。 ――青玉の言霊のジレンマid:mind:20050916
けっきょく、
(Bの├ 記号世界) ⇔ (現実世界) ――Bの内部で再帰的に折り重なってる。Gは自分自身Lを反映している。
BはG型 ⇔ BはL型
G) B(Bx⊃x)⊃Bx ⇔ B├Bx⊃x ならば B├x ――ただし、xは任意の命題。
◆G型ならば反射的
(記号化) s 任意の命題。 G) B├ G) B(Bs⊃s)⊃Bs tt) s⊃ (Bs⊃s) ……… -> Bs⊃B(Bs⊃s) → B(Bs⊃s)≡Bs tt) ……… ⇒ B(Bs⊃s)⊃s ≡Bs ⊃s 。 ┤ 以上の観察より、 B├ B(Bs⊃s)⊃s ≡Bs ⊃s このとき、 c: Bs⊃s とおけば、 B├ B c ⊃s ≡c つまりB├ c ≡ Bc⊃s すなわち、Gにおいて、Bs⊃sは、論理式Bc⊃sの不動点。 ところで、 システムでBc⊃sが不動点を持つ ⇔ システムは反射的である よって、G型のBは、反射的。=|総合すると、
☆BはⅣ型で反射的 ⇔ BはL型，⇔ BはG型
† 「反射的な現実世界」、を観察するcopmuterB
――茉莉ちゃんBの近傍世界)が、反射的(ふらくたる〜)で、
B├s ならばs ―― 正確関係Bs⊃s ←→ cf. 虚言的関係 Bs⊃~s
であるならば
s
が現に成立っている場合、それをBが観察すれば、
…> B├Bs⊃s ならばB├s 。 (df.☆L型事実の記号表現はG型)
(tt sならば (Bs⊃s) )
- > B├sならばB├Bs⊃s
→ B├Bs⊃s ⇔ B├s
――両辺に ならばs を加え、
B├Bs⊃s ならばs ⇔ B├s ならばs 。
このとき、
c: Bs⊃s(すなわち、B├s ならばs) とおけば、
B├cならばs ⇔ c
つまり実際に、 c ⇔ B├cならばs =|
すなわち、実際の世界の一部において、Bs⊃sは、現実関係Bc⊃sの不動点。
ところで、現実という物理システムにおいても、やはり、
システムでBc⊃sが不動点を持つ ⇔ システムは反射的である
(Bの近傍世界が実際に反射型)
c≡Bc⊃s が、
(Bで証明可能(B├ c≡Bc⊃s)かはさておき)、現に正しい(真に、c ⇔ B├c ならばs)場合。
――;「(白箱の中に) 灰玉が在る ならばそのときに限り、
もしBくん(Ⅳ型)が「灰玉が在る」と証明できた ならば、青玉もある。」
このとき、茉莉ちゃんBに、
②
…> c≡ Bc⊃s (茉莉ちゃんがG型なら、自発的にこれを信じて反射的になってしまう。)
を信じさせるのは、これは、BがⅣ型であるかぎり、現実に正しくなるのだから、ペテンでない。(信じるとsについてGL型になるだけ)
――ただのⅣ型の人にとっても、Gの念仏は☆自己充足信念だったように。
① また、
…> Bs⊃s (「サンタを信じて(いい子にして)れば、サンタは来てくれるのよ」)
を信じさせるのもペテンでない。 ――B├sならばsは、(Cが約束を守るという前提で)現実の事実、つまりsはBの自己充足信念だし。
そもそも、
☆Bはたまたま(B├s ならばs)になってる近傍世界の観察によって、記号式Bs⊃sを取込むことができる。
――我々にできるんだから、Bにできても不思議はない。
L型なB├
…> Bs⊃s ――「他のよい子のお友だちのところにも来てる」のだから、サンタを信じて待ってれば、きっとサンタはやってくるのよ!
………
→s
┤ 観察によると、
B├s。 したがって、s。
(Cがこの密かな約束を守るつもりなら、普通の債務負担行為。)
けっきょく、
ある言葉を信じれば、言葉の内容が実現してしまうという現実関係
があった場合、
そういう言霊を信じさせても、その内容が実現してしまうので、ペテンとは呼べない。
――「煽動demagogy」wwか。 「平和への教唆犯?扇動者?」
そして、たとえ扇動者に乗せられなくても、
観察力と論理力が優れたcomputerB
を、現実の反射的な近傍世界
B├x ならばx、 であるならば x ――「Bがxに正確ならば、実際x」
を構成する要素として埋込んでみると、周囲との軋轢葛藤はあるだろうが、遅かれ早かれ、
ⅢB├
…> (Bx⊃x)⊃ x
- > B((Bx⊃x)⊃ x)
→ B(Bx⊃x)⊃Bx
┤
で、BはG型になって定常航行できる。すると、
B├Bx⊃x ならばB├x 。
も正しくなる(L型)。同時に、
論理式Bp⊃qが不動点cを持つ。すなわち、
B├
c ≡ Bc ⊃q ――ぉ、文字pが蒸発しちゃった!!
c ≡ Bq⊃q
┤
なので、Bは反射的になる。
---(参考資料)-------------------------------------
Ⅰ型: 0型のcomputerで、かつ、
- Bは、任意の恒真式を確証する。
- Bは、xと、x⊃yとを確証すれば、yを確証する。 ――論証過程では三段則「→」として出てくる。
(つまり、B├x かつ B├ x⊃y ならば、B├y 。)
――ここまでが「無垢な白箱」
----↓↓↓↓＜認知能力の内側への拡張 -----------------------
Ⅱ型: Ⅰ型のcomputerで、かつ「自分がⅠ型」と(正しく)確証している。
- Bは、「BX (ただしXは恒真式)」の形の記号列を凡て確証する。
- Bは、「BX & B(X⊃Y) ⊃BY」 の形の記号列を凡て確証する。――「B(X⊃Y) ⊃(BX ⊃BY)」でも同じ――B分配公理
Ⅲ型: Ⅱ型のcomputerで、かつ、正常的:
Bの場合は、xを確証すればBxを確証する。 ――論証過程では(内部)観察則「->」として出てくる
(つまり、B├x ならば、B├Bx 。)
Ⅳ型: Ⅲ型のcomputerで、かつ「自分がⅢ型(正常である)」と(正しく)確証している。
Bは、「BX⊃BBX」の形の記号列を凡て確証する。
----｛ 複雑化 ----------------------------------------
Ｔ型: Ⅲ型のcomputerでかつ、自信過剰的: ――「B」を、確証、証明可能と解釈すると、自信過剰
Bの場合は「BX⊃X」の形の凡ての記号列を確証する。
-----------------
(反射的:) 任意の記号列qについて、記号列kが存在し、
Bの場合は、 k ≡ Bk⊃q を確証すること。
―― kは、論理式Bk⊃qの不動点
GL型(G型と、L型と、反射的なⅣ型とは同等)
L型: Ⅳ型のcomputerでかつ、謙虚(レーブ的):
Bの場合は Bx⊃x を確証するとxも確証する。 ――論証過程ではレーブ則「-L>」として出てくる
(つまり、 B├Bx⊃x ならば、B├x 。)
G型: Ⅲ型のcomputerでかつ、「自分が謙虚だ」と確証している。
Bは、「B(BX⊃X)⊃BX」の形の凡ての記号列を確証する。
(しかも、B├ B(Bx⊃x)⊃Bx ならば、(B├Bx⊃x ならば、B├x )。) ――自己充足信念の1例
――Xが⊥でも已むを得ないので、「Gの念仏」id:mind:20050924
――G型では、論理式Bk⊃qの、不動点kは Bq⊃q 。すなわち G├ Bq⊃q ≡ B(Bq⊃q)⊃q 。なので、Gは反射的。
――qが⊥でも已むを得ないので、「灰色構成式」id:mind:20050925
(註)
*1:――次のはサンタクロースが現実に存在しない(~s)とすればペテン。玉葱cを用意し、cとsを信じさせている。
*3:「私の今言ったこと」は、文の条件部を指すのか、文の全体を指すのか、意図的に曖昧な日常言語の使用法をしてる
*4:――白箱の問題とは違って、C教授をそのままには信じてなかったはずなのに…… ；
*5:――◎同一性原理。これは認めざるを得ない?
*6:―― Cs &s ⊃sを信じるつもりで、c⇔ cならばs を信じちゃったので、おしまい ；
*7:――Bは、cが正しいと答えたつもりはないが、文c:を信じた以上、結果的にはB├cということ。
*9:環境世界というと、自分を含まないイメージなので、「近傍世界」と呼んでみる
